Mnozí z nás si pravděpodobně ze školy pamatují, jak důležité se zdálo naučit násobilku nazpaměť a jak velký důraz učitelé kladli na potřebu jejího zvládnutí. Toto přesvědčení, že přesnost a automatizace v počítání jsou základem matematických schopností, nás často provází celým životem. Obvykle si také myslíme, že lidé, kteří umí pracovat s přesnými čísly, se lépe rozhodují na základě zdravotních nebo finančních údajů než ti, kteří se spoléhají na hrubé odhady a intuici. Je to opravdu tak? Jaká je souvislost mezi pamětí na čísla a matematickými schopnostmi a pomáhá zapamatování si přesných hodnot vždy řešit matematické problémy?

Výsledky výzkumu, který léta prováděli profesorka Valerie Reyna a profesor Charles Brainerd z Cornell University v USA, naznačují, že schopnost zpracovávat a pamatovat si přibližné veličiny nebo nepřesné intuice o číslech je pro matematické uvažování často důležitější než paměť na přesné hodnoty. Navíc u některých typů matematických úloh pamatování si přesných čísel vůbec nepomáhá najít správné řešení a může ho dokonce ztížit. Jak je to možné?

Podle teorie fuzzy stop, kterou navrhli Reyna a Brainerd, jsou informace, které si pamatujeme, současně kódovány jako samostatné paměťové stopy – přesná forma stopy (doslovná) a přibližná neboli intuitivní obsahová stopa (gist). Jako formální stopu si můžeme pamatovat přesnou informaci, např. 237 jako přesné číslo nebo konkrétní slovo s jeho pravopisem (např. „moře“). V rámci obsahové stopy se zase pamatuje přibližný, obecný význam dané informace (např. intuice, že číslo, které nás zajímá, bylo větší než 200, nebo vzpomínka, že slovo mělo něco společného s vodou).

Oba typy paměti jsou spojeny se dvěma styly uvažování: analytickým, zaměřeným na přesná data, a intuitivním, který zohledňuje širší kontext. Podle teorie fuzzy stop jsou užitečné jak paměťové stopy, tak styly uvažování, ale jejich užitečnost závisí na kontextu. Výzkum Reyny a Brainerda však ukázal, že s rozvojem kognitivních schopností dětí se postupně přecházejí od strategií založených především na formální stopě k strategiím založeným na obsahové stopě a dospělí se raději spoléhají na obsahovou stopu, pokud je dostatečná k vyřešení úkolu. Není to jen proto, že přesné informace zakódované ve formální stopě se hůře pamatují a práce s nimi je časově náročnější a náchylnější k chybám. Je také důležité si uvědomit, že zaměření se na detaily může ve skutečnosti ztížit pochopení širšího kontextu nebo hlubšího významu úkolu. Například 1% zvýšení rizika onemocnění se může zdát nevýznamné. Pokud však bylo počáteční riziko 0 %, toto „malé“ zvýšení zcela změní obraz – přejdeme od úplného nulového rizika k jeho výskytu. Práce s obsahovou stopou má samozřejmě své nevýhody. Spoléhání se na nepřesné, intuitivní reprezentace může být problematické, pokud jsou vyžadovány přesné výpočty. Může to také vést ke specifickým chybám vyplývajícím z přesvědčení, že jsme se s nějakou informací již setkali, i když ve skutečnosti jsme se zabývali jinými, ale podobnými (sdílejícími stejnou obsahovou stopu) informacemi.

Jak vidíte, vztah mezi pamětí čísel a matematickými dovednostmi není tak jednoduchý a jednorozměrný, jak by se mohlo zdát. Někdy řešení úkolu vyžaduje paměť přesných číselných hodnot, ale jindy může být zapamatování přesných dat a čísel pro nás překážkou. Je možné ověřit, pro které oblasti matematických dovedností je klíčová schopnost zapamatovat si přesná čísla a pro které oblasti je klíčová schopnost operovat s numerickou intuicí?

Toto téma zkoumali Dr. Michał Obidziński, MSc. Engineer Nina Bażela a Dr. hab. Mateusz Hohol, prof. UJ z Laboratoře matematického poznávání a učení, která patří do Centra Copernicus pro interdisciplinární studia Jagellonské univerzity. Ve své studii, publikované v červnu v časopise „Cognition“, vědci zkoumali, jak dlouhodobá paměť na čísla v paměťových stopách formy a obsahu souvisí s matematickými schopnostmi, jako je porovnávání počtu sad objektů (tzv. numerický smysl), aritmetická plynulost a matematické uvažování, měřené pomocí typických školních aritmetických, algebraických a geometrických úloh. Dále zkoumali, jak oba typy paměti souvisí se subjektivním pocitem matematické kompetence.

Pro přesné měření obou paměťových stop si vědci připravili speciální úkol. Účastníci si zapamatovali seznamy vět obsahujících číselné informace, např. „Farmář má 7 psů a 11 koní.“ Poté byla v testovací fázi jejich paměť testována předložením vět tří typů: identických (a tedy konzistentních v obsahové i formální stopě), podobných, ve kterých byly změněny specifické hodnoty (jiná forma stopy), ale vztah mezi čísly byl zachován, např. „Farmář má 10 psů a 15 koní“ (věta má stále více koní než psů, takže stejná obsahová stopa je zachována), a odlišných, ve kterých byly změněny jak specifické hodnoty, tak vztah mezi čísly byl obrácený, např. „Farmář má 20 psů a 9 koní“ (jiná forma stopy a obsahová stopa).

Subjekty byly požádány, aby odpověděly „ano“ nebo „ne“, přičemž se rozhodlo, zda je předložená věta identická s tou zobrazenou v učební fázi, nebo je pouze podobná, nebo nepatří do žádné z těchto kategorií. Pomocí polynomiálního modelování a dalších analýz založených mimo jiné na strojovém učení byli vědci schopni s velkou přesností určit, do jaké míry se subjekty při rozhodování spoléhaly na každý z těchto dvou typů paměti.

Nejzajímavější vzorec, který vědci objevili, se týkal vztahu mezi pamětí a matematickým uvažováním, tj. schopností řešit složité úkoly v aritmetice, algebře a geometrii. Ukázalo se, že lepší výsledky v této oblasti byly spojeny jak s lepší pamětí na přesná čísla (formální stopa), tak i na obecné, intuitivní vztahy (obsahová stopa). Další analýza však ukázala, že vynikaly vztahy se zapamatováním si intuitivních informací. Jinými slovy, ačkoli u složitějších matematických kompetencí je důležitá schopnost zapamatovat si přesná i přibližná čísla, paměť na ta druhá (obsahová stopa) hraje důležitější roli.

Je zajímavé, že v případě aritmetické zdatnosti (rychlost a přesnost sčítání, odčítání, násobení a dělení) nebyl vztah s pamětí tak jasný. Pouze celkový výsledek v úloze paměti koreloval s výsledky v násobení a dělení, což může odrážet potřebu si vybavit zapamatované výsledky násobilky. Po rozdělení paměti na stopy formy a obsahu však nebyly nalezeny žádné korelace mezi jednotlivými paměťovými procesy a výsledky v aritmetických úlohách. Při porovnávání počtu sad objektů (tzv. smysl pro čísla), schopnosti, kterou mnoho výzkumníků považuje za základ pro rozvoj všech pokročilejších matematických schopností, výzkumníci nenašli žádný vztah s dlouhodobou pamětí. To může znamenat, že tato základní schopnost je do značné míry nezávislá na zapamatování si symbolických (psaných číslicemi nebo písmeny) číselných informací.

A co pocit vlastní matematické kompetence? Ukázalo se, že lidé, kteří se považovali za dobré v matematice, měli ve skutečnosti lepší paměť na čísla. Nejzajímavější je, že jejich vysoké sebevědomí bylo spojeno konkrétně s pamětí na přesné hodnoty (stopa formy). To naznačuje, že účastníci, kteří si v paměťovém úkolu lépe pamatovali přesná čísla, a ne jen obecné intuice o jejich velikosti, si byli jistější svými matematickými dovednostmi, když je na konci studie hodnotili.

- Výsledky naší studie naznačují, že vztah mezi pamětí a matematickými schopnostmi je mnohem složitější, než by se mohlo zdát, - říká Dr. Michał Obidziński. - Ačkoli je paměť na přesná čísla důležitá, schopnost zachytit a operovat s obecným, intuitivním smyslem pro numerická data se zdá být klíčová pro pokročilé matematické uvažování.

Díky grantu v hodnotě 1,7 milionu zlotých, který v červnu udělilo Národní vědecké centrum v rámci soutěže OPUS 28, bude tým vedený prof. Mateuszem Hoholou v nadcházejících letech studovat souvislosti mezi matematickými schopnostmi nejen s dlouhodobou pamětí, ale také s pracovní pamětí. To umožní vývoj jednotného teoretického a metodologického rámce založeného na teorii fuzzy stop a polynomiálních matematických modelech, což umožní systematické a komplexní pochopení toho, jak matematické schopnosti souvisejí s pamětí. Důležité je, že výzkum se bude týkat nejen typicky se vyvíjejících jedinců, ale i těch, u kterých je diagnostikována vývojová dyskalkulie, tj. těch, kteří mají nejzávažnější problémy s učením matematiky. V rámci projektu, který zahrnuje spolupráci s tvůrci teorie fuzzy stop, prof. Valerie Reynou a Charlesem Brainerdem z Cornell University, a předním odborníkem v oblasti dyskalkulie, prof. Brianem Butterworthem z Univerzity College London budou také použity pokročilé metody strojového učení. Jejich aplikace na analýzu dat z paměťových úloh umožní ověřit, zda je možné identifikovat osoby se specifickými obtížemi v učení matematiky na základě jedinečných paměťových vzorců. To by zase mohlo vrhnout nové světlo na probíhající diskuse o kognitivních charakteristikách osob s vývojovou dyskalkulií.

zdroj: Jagellonská univerzita, www.uj.edu.pl,  autor: Nina Bażela